Kansberekening voor beginners met het spel Dobbelkoning

Een kind dat kan tellen kan al kennismaken met de beginselen van het kansrekening. Iedereen kan kansberekening begrijpen ook al heb je nog nooit van breuken of procenten gehoord. In dit artikel leg ik je kansberekening voor beginners uit in begrijpelijke taal met voorbeelden. Ook ga je oefenen met kansrekening door het spelen van het toffe spel Dobbelkoning van HABA. Na het lezen van dit artikel kijk je heel anders tegen kansrekening aan en win je misschien wel meer spelletjes.

Waarom kansrekening?

Stel, je wilt morgen een dagje naar het strand om te genieten van de zon. Daarvoor moet je een vrije dag nemen van je werk. Het is niet zeker of het morgen mooi weer is. Je vraagt je af wat je het beste kunt doen, een vrije dag nemen of niet?

Je voelt onzekerheid. Vermoedelijk zul je nu enkele weersvoorspellingen gaan raadplegen en op basis van die informatie maak je je keuze. De weervrouwen en -mannen hebben voor jou de kans berekend dat het morgen zonnig is. Neem je bij 10% kans op zon een vrije dag? En bij 80% kans op zon?

In situaties waarin we beslissingen moeten nemen waarbij de uitkomst (het weer morgen) onzeker is, proberen we de uitkomst van de situatie zo goed mogelijk te voorspellen (dat deden de weervrouwen en -mannen voor ons). We gebruiken deze voorspelling als onderbouwing bij het maken van onze keuze voor het nemen van een vrije dag of niet.

Kansrekening is daarmee onderdeel van het vakgebied statistiek waarbij gegevens verzameld, bewerkt, gepresenteerd en geïnterpreteerd worden.

Kansberekening uitleg

Laat ik even bij het woord kansrekening of kansberekening beginnen. Het is opgebouwd uit kans en rekenen. Het woord rekenen is je wel bekend. Het woord kans gebruik je misschien zelfs dagelijks, maar wat is een kans nu eigenlijk precies?

Kans

Als we willen weten hoe waarschijnlijk het is dat een bepaalde gebeurtenis G plaatsvindt, dan hebben we het over de kans dat G plaatsvindt.

Misschien herinner je nog wel uit je schooltijd dat dit geschreven wordt met deze notatie:  P(G)
De letter P staat voor probability, oftewel waarschijnlijkheid/ kans.

Voorbeeld kans

Stel je voor dat je wordt uitgedaagd om mee te doen aan het volgende spel. Je wordt gevraagd 1000 euro in te zetten als je besluit mee te doen. Je mag daarna één keer gooien met een zuiver geldstuk. Het woord zuiver zet ik er expliciet bij zodat we uitgaan van een munt waarmee niet gesjoemeld is, want die zou de kansen op de uitkomsten kop of munt veranderen.
Als de uitkomst van het gooien van het geldstuk “kop” is, dan krijg je € 2000,- . Mocht de uitkomst “munt” zijn, dan ben je je inleg kwijt en win je niets.

Er is sprake van een onzekerheid: je weet niet wat er boven zal komen te liggen bij het gooien met het geldstuk.

Je gaat nu de kans voorspellen op een voor jouw gunstige uitkomst, namelijk “kop”. Dit helpt jou bij het maken van de keuze of je mee wilt doen aan het spel of niet.

Puur op gevoel zou je misschien al zeggen dat de kans op het gooien van kop ½ of 50% is. Het geldstuk heeft namelijk 2 zijden, kop en munt. Één daarvan is kop, dus de kans op kop is 1 van de 2.
Dat klopt inderdaad. Er zijn twee mogelijke uitkomsten, kop of munt. Één van de uitkomsten is voor jou gunstig: kop.

Nu je de kans op kop voorspeld hebt, kun je een keuze maken: je doet mee of niet.
Je besluit mee te doen. Het is belangrijk dat je beseft dat de uitkomst ook nu nog onzeker is.

Gooi nu zelf de munt. Wat is de uitkomst? Heb je gewonnen?

Ongeveer de helft van de lezers zal kop gooien, de andere helft zal munt gooien. Ik gun je natuurlijk de uitkomst “kop”. 🙂

Kans versus realiteit

Belangrijk is het om je te realiseren dat door het berekenen van de kans op een gebeurtenis, de uitkomst niet zekerder wordt.

Zelfs als bij een experiment 99 van de 100 uitkomsten gunstig voor jou zijn, dan nog weet je niet zeker dat je gaat winnen. Wel kun je zeggen dat de kans groot is dat je wint.

Kansrekenen dobbelstenen: zo bereken je een kans

Zonder dat je gebruik hoeft te maken van breuken of procenten kun je de kans op een gebeurtenis berekenen.

Ik licht dit toe aan de hand van een voorbeeld met een zesvlaksdobbelsteen, waarbij de gebeurtenis G “aantal ogen meer dan 4” voor ons gunstig is.

Een kans berekenen doe je in drie stappen:

1. Wat zijn de mogelijke uitkomsten van de gebeurtenis? Hoeveel zijn het er?
   Als je met de dobbelsteen gooit, dan zijn dit de mogelijke uitkomsten: 1, 2, 3, 4, 5 of 6.  Dat zijn 6 mogelijke uitkomsten.
2. Welke uitkomsten zijn gunstig? Hoeveel zijn het er?
   De uitkomst is gunstig als het aantal ogen meer dan 4 is (dus 4 niet!). Uit de mogelijke uitkomsten bij 1,  zijn alleen 5 en 6 gunstig. Dat zijn dus 2 gunstige uitkomsten.
3. Bepaal de kans op de gunstige gebeurtenis.
   De kans op de gunstige gebeurtenis “aantal ogen meer dan 4” is 2 van de 6.

Kun je al rekenen met breuken? Dan kun je deze formule gebruiken:

Dit lees je als de kans op gebeurtenis G is het “aantal gunstige uitkomsten” gedeeld door “aantal mogelijke uitkomsten”.

In dit voorbeeld zou de berekening van de kans er dan zo uitzien:

De kans op het gooien van “meer dan 4 ogen” is dus éénderde en dat is afgerond op 2 decimalen ongeveer 0,33.

Waarde van een kans

Als je met breuken kunt werken, dan is dit ook een interessant stukje voor jou.

De waarde van een kans is nooit groter dan 1. Een kans kan ook niet kleiner dan 0 zijn.

Als de kans 1 is, dan is het zeker dat de gunstige uitkomst als resultaat naar voren zal komen.
Bij het gooien met een zesvlaksdobbelsteen is de kans dat je een getal “kleiner dan 7” gooit 1. De mogelijke uitkomsten van het gooien met de dobbelsteen zijn namelijk 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Dit zijn ook alle gunstige uitkomsten. Er zijn dus 6 mogelijke uitkomsten en 6 gunstige uitkomsten, de kans is 6 gedeeld door 6 en dat is 1. Kortom het is zeker dat je een getal kleiner dan 7 gaat gooien.

Wat betekent het als de kans op een gebeurtenis 0 is?
Juist, de gebeurtenis zal zeker niet plaatsvinden.

HABA Dobbelkoning

Om te zorgen dat je het volgende stuk over kansberekening voor beginners kunt begrijpen, is het handig als je het spel Dobbelkoning een aantal keer gespeeld hebt. Het is een super gaaf HABA spel voor kinderen vanaf 8 jaar: een avontuurlijke en spannende variant van het spel Yahtzee. Het is ook goed mee te nemen als reisspel als je de doos thuis laat.

Bij het spel Dobbelkoning ben je zojuist koning of koningin geworden van een geweldig stuk land. Het enige wat nog ontbreekt is de bevolking. De beste burgers komen naar jouw land als je handig gebruik maakt van kansrekening en een beetje geluk hebt met de dobbelstenen.

Zo speel je het spel

Je speelt om de beurt en met de klok mee. Jouw beurt bestaat steeds uit drie stappen:

1. Dobbelen.
   Met de zes dobbelstenen probeer je één van de burgerkaarten te winnen in maximaal 3 keer gooien. Je probeert een burgerkaart te winnen met zoveel mogelijk overwinningspunten.
2. Nieuwe burger overtuigen of een strafkaart pakken
   Als je met je gegooide dobbelstenen kunt voldoen aan de voorwaarden van de burgerkaart dan mag je hem pakken waarbij je soms met mazzel ook nog een nieuw dorp kunt stichten. De kaart die je kiest leg je op je koninkrijkstapel.
   Kun je geen openliggende burgerkaart pakken, dan moet je een strafkaart pakken en op je koninkrijkstapel leggen. Je verliest nu punten.
3. Kaartenrij opvullen.
   Daarna vul je de kaartenrij op. Dit doe je door alle kaarten links van de lege plek één naar rechts te verplaatsen. Hierdoor wordt de plek onder de eerste dorpsstapel leeg. Nu leg je een nieuwe kaart van de stapel op die plek.

Het spel is afgelopen als één van jullie de laatste kaart van de stapel met burgerkaarten, strafkaarten of één van de stapel dorpskaarten pakt. De winnaar is degene met de meeste punten.

Speel het spel een aantal keer zodat je goed weet hoe het spel werkt en welke uitkomsten met de dobbelstenen nodig zijn om de burgers te winnen.

De dobbelstenen van HABA Dobbelkoning

Het spel heeft 3 verschillende dobbelstenen. Van elke dobbelsteen zijn er twee exemplaren zodat je altijd 6 dobbelstenen tot je beschikking hebt. Ik heb ze hieronder schematisch neergezet.

Bij het spel HABA Dobbelkoning zijn de ene keer de stippen, de andere keer de kleuren rood, blauw of groen en soms zowel de kleur als het aantal stippen van belang.

Kansberekening oefenen met Dobbelkoning

Eerst ga je in een aantal losse situaties oefenen met het berekenen van kansen. De laatste oefening is iets lastiger, daar oefen je met kansen berekenen om zelf jouw keuze te onderbouwen.

Oefening 1

Stel je voor dat je probeert de Gekke Gnoom kaart te pakken. Na 2 keer gooien heb je al vijf blauwe dobbelstenen en de zesde dobbelsteen is rood. Bij de derde, en laatste worp, gooi je alleen nog de dobbelsteen links van de Gekke Gnoom kaart.

Hoe groot is de kans dat je de Gekke Gnoom kaart mag pakken?

Uitwerking oefening 1

Ik werk de oefening uit met de drie stappen van Zo bereken je een kans.

1. De dobbelsteen bestaat uit 6 vlakken. Er zijn 6 mogelijke uitkomsten.
2. Er zitten op de dobbelsteen 2 blauwe vlakken. Er zijn 2 gunstige uitkomsten.
3. De kans op het gooien van een blauw vlak is dus 2 van de 6 (oftewel ⅓).

Oefening 2

 

De Rijke Stinkerd is al bijna burger in jouw koninkrijk. Na twee worpen heb je al 5 oneven getallen gegooid en mis je alleen nog een zesde oneven getal.

Hoe groot is de kans dat de Rijke Stinkerd in jouw koninkrijk komt wonen?

Uitwerking oefening 2

Je hebt al 5 schitterende oneven getallen gegooid. Met de zesde dobbelsteen een oneven getal gooien zou gunstig zijn.

1. De dobbelsteen bestaat uit 6 vlakken. Er zijn 6 mogelijke uitkomsten.
2. Er zitten op de dobbelsteen 3 oneven vlakken: 1, 3 en 5. Er zijn 3 gunstige uitkomsten.
3. De kans dat de Rijke Stinkerd in jouw koninkrijk komt wonen is dus 3 van de 6 (oftewel ½).

Oefening 3

Je bent al aardig op weg om de Knuffelige Ork te overtuigen naar jouw koninkrijk te komen. Na 2 keer gooien heb je al vier vijven gegooid. Ook heb je een 3 en een 6. Je besluit de 3 bij de vijven te leggen. In je derde worp probeer je nu met de laatste dobbelsteen een 3 te gooien.

Hoe groot is de kans dat je de Knuffelige Ork NIET mag pakken?

Uitwerking oefening 3

Pas op hier staat dat in de vraag dat het gaat om de gebeurtenis dat je de Knuffelige Ork NIET mag pakken. Dat betekent dat je geen 3 zal gooien. In deze vraag is “gunstig” dus eigenlijk helemaal niet fijn.

1. De dobbelsteen bestaat uit 6 vlakken. Er zijn 6 mogelijke uitkomsten.
2. Er zitten op de dobbelsteen 5 vlakken zonder 3: 1, 2, 4, 5 en 6. Er zijn 5 gunstige uitkomsten.
3. De kans dat je de Knuffelige Ork NIET mag pakken is dus 5 van de 6 (oftewel 5/6).

Oefening 4

Je hebt zin om je medespeler te plagen met een aantal punten aftrek en je probeert de Draak te pakken. Je mag nog één keer gooien. Je besluit alleen de dobbelsteen waar nu een 1 op staat nog een keer te gooien.

Hoe groot is de kans dat je je medespeler kan plagen?

Uitwerking oefening 4

Om de kaart met de Draak te pakken heb je 28 punten of meer nodig.
Je hebt nu al 4 + 6 + 5 + 3 + 6 = 24 punten.

1. De dobbelsteen bestaat uit 6 vlakken. Er zijn 6 mogelijke uitkomsten.
2. Als je een 4, 5 of 6 gooit heb je in totaal 28 punten of meer. Er zijn 3 gunstige uitkomsten.
3. De kans dat je je medespeler kan plagen met de Draak is 3 van de 6 (oftewel ½).

Oefening 5

Na 2 keer gooien zie je dat het nog zin heeft om te proberen één van deze twee kaarten te pakken. Je kiest ervoor alleen de dobbelsteen links van de kaarten nog een keer te gooien. Stel dat je van tevoren moet aangeven voor welke kaart je gaat gooien.
Ga je dan voor de Getalenteerde Tovenaarsleerling of de Knuffelige Ork? Licht je antwoord toe door gebruik te maken van kansrekening.

Uitwerking oefening 5

Laat in de reacties onder dit artikel jouw uitwerking van dit probleem weten. Als er meerdere reacties zijn, reageer ik met een toelichting. Veel succes!

 

---

Ben je toe aan kansrekening voor gevorderden? Wil je weten hoe het met de somregel of productregel zit? Welke deel van kansrekening zou je graag uitgelegd willen hebben? Laat ook dit hieronder weten.